3
עריכות
על מנת לערוך סיכומים נדרש לפתוח חשבון.
משפטים בגיאומטריה: הבדלים בין גרסאות בדף
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 12: | שורה 12: | ||
* | **[[/משולש ישר זווית (משפטים)|משולש ישר זווית]] - | ||
***אם במשי"ז אחת הזוויות שווה ל30, הצלע שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך). משולש זה מכונה "משולש זהב". | |||
***התיכון ליתר במשי"ז שווה למחצית היתר (ולהפך) | |||
***[[משפט פיתגורס]] (והמשפט ההפוך לו) | |||
***הגובה ליתר במשי"ז מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי | |||
***הגובה ליתר במשי"ז הוא [[ממוצע גיאומטרי|הממוצע הגיאומטרי]] של [[היטל|היטלי]] הניצבים על היתר. (ולהפך) | |||
***(משפט אוקלידס) - במשי"ז ניצב הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר. | |||
* | **קטע אמצעים במשולש - | ||
***קטע האמצעים מקביל לבסיס ושווה לחצי ממנו. | |||
***קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לבסיס הינו קטע אמצעים. | |||
***קטע המקביל לבסיס ושווה למחציתו הינו קטע אמצעים. | |||
*סכום הזוויות | **צלעות וזוויות במשולש והיחסים ביניהן - | ||
***אם צלע אחת במשולש גדולה/שווה לצלע שנייה, הזווית שמול הראשונה גדולה/שווה לזווית שמול השנייה. | |||
***השיוויון מתקיים אםם הצלעות שוות. | |||
***[[אי-שיוויון המשולש]] | |||
***סכום הזוויות במשולש שווה ל180 | |||
***מסקנה: הזווית החיצונית למשולש שווה לסכום הזוויות הלא צמודות לה במשולש. | |||
*שלושת האנכים האמצעיים | *ישרים חשובים - | ||
**אנך אמצעי - | |||
***כל נקודה על אנך אמצעי לקטע נמצאת באותו המרחק משני קצוות הקטע (ולהפך - כל נקודה...) | |||
***שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת | |||
*שלושת חוצי | **חוצה זווית - | ||
***כל נקודה על חוצה זווית A נמצאת במרחק שווה משני שוקי A. (ולהפך - כל נקודה...) | |||
***שלושת חוצי הזווית במשולש נפגשים בנקודה אחת | |||
* | **תיכון - | ||
***התיכונים במשולש מחלקים זה את זה ביחס של 1:2 | |||
***שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת | |||
* | **גובה - | ||
***הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת | |||
*שטחים - | |||
**שטח משולש - צלע*גובה לצלע/2 | |||
**שטח מקבילית - צלע*גובה לצלע (+ציון מקרים פרטיים של מלבן, מעוין וריבוע) | |||
**שטח דלתון - מכפלת האלכסונים/2 (ציון מעוין כמקרה פרטי) | |||
**שטח טרפז - ממוצע הבסיסים*הגובה | |||
**שטח עיגול - R^2*pi | |||
**היקף עיגול - 2pi*R | |||
[[ | |||
*מרובעים - | |||
**[[תכונות המקבילית|מקבילית]] - | |||
***כל זוג זוויות נגדיות במקבילית שווה (ולהפך) | |||
***כל זוג זוויות סמוכות במקבילית שוות ל-180 מעלות (ולהפך) | |||
***כל זוג צלעות נגדיות במקבילית שווה (ולהפך) | |||
***האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה (ולהפך) | |||
***מרובע ששתיים מצלעותיו שוות ומקבילות הוא מקבילית | |||
***מרובע ששתי זוגות צלעות נגדיות בו מקבילות הוא מקבילית. | |||
**מלבן - | |||
***האלכסונים במלבן שווים זה לזה (ולהפך, במקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה...) | |||
**מעוין - | |||
***אלכסוני מעוין מאונכים (ולהפך, מקבילית שבה...) | |||
***אלכסוני מעוין חוצים את זוויותיו (ולהפך, מקבילית שבה...) | |||
**טרפז - | |||
***אם בטרפז שתי זוויות בסיס שוות, הוא שווה שוקיים. | |||
***אם אלכסוני הטרפז שווים זה לזה, הוא שווה שוקיים. | |||
***קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. | |||
***קטע היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיס הינו קטע אמצעים. | |||
*[[/מעגל (משפטים)|מעגל]] - | |||
**הגדרה ומשפטים כלליים - | |||
***על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות (ולהפך) | |||
***למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות (ולהפך) | |||
***על קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות (ולהפך) | |||
***לזווית הגדולה ביותר מתאימה הקשת הגדולה ביותר והמיתר הגדול ביותר | |||
***אנך למיתר היוצא ממרכז המעגל חוצה את המיתר ואת הזווית המרכזית הנשענת על המיתר (ולהפך - שתי אפשרויות) | |||
***מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל | |||
***אם מיתר א' גדול ממרחק ב', מרחקו מהבסיס גדול מזה של מיתר ב'. | |||
**זוויות (היקפיות ומרכזיות) במעגל - | |||
***זווית מרכזית גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת | |||
***זווית היקפית ישרה נשענת על הקוטר (ולהפך) - מקרה פרטי של המשפט הקודם | |||
***כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות | |||
***למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות וזוויות היקפיות שוות | |||
***זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית (והמשכיהן) | |||
***זווית חיצונית שווה להפרש בין הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית | |||
**[[משיק למעגל (משפטים)|המשיק]] - | |||
***משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (ולהפך) | |||
***שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה | |||
***קטע המחבר את נקודת החיתוך של שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית ביניהם, מאונך למיתר המחבר את נקודות ההשקה וחוצה אותו | |||
***הזווית בין משיק למיתר במעגל הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני | |||
***שני מיתרים במעגל נחתכים כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר | |||
***אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני | |||
***אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק (הקטע שבין נקודת ההשקה לחיתוך המשיק והחותך) | |||
**מצולעים חסומים וחוסמים מעגל | |||
***מרכז המעגל ה''חוסם'' משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעותיו. | |||
***מרכז המעגל ה''חסום'' במשולש הוא מפגש חוצי הזווית של המשולש | |||
***בכל מרובע ה''חסום'' במעגל סכום הזוויות הנגדיות הוא 180 מעלות. (ולהפך, מרובע כזה ניתן לחסימה) | |||
***במרובע ה''חוסם'' מעגל, סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. (ולהפך) | |||
***כל מצולע משוכלל ניתן לחסימה על ידי מעגל | |||
***כל מצולע משוכלל יכול לחסום מעגל | |||
*פרופורציה ודמיון - | |||
**משפט תלס, הרחבותיו והמשפטים ההפוכים להם. (קל יותר להסביר באמצעות שרטוט) | |||
**דמיון משולשים - | |||
***משפט דמיון ראשון (צ.ז.צ) | |||
***משפט דמיון שני (ז.ז) | |||
***משפט דמיון שלישי (צ.צ.צ) | |||
***משפט דמיון רביעי (צ.צ.ז) | |||
***במשולשים דומים היחס בין הגבהים, חוצי הזווית והתיכונים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים. | |||
***היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון בין המשולשים. | |||
***היחס בין רדיוסי מעגלים ה''חוסמים'' משולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים. | |||
***ביחס בין רדיוסי מעגלים ה''חסומים'' במשולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים. | |||
**חוצה הזווית - | |||
***חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית שהוא חוצה ביחס השווה ליחס בין שתי הצלעות האחרות. (ולהפך) | |||
***חוצה זווית חיצונית למשולש מחלק את הצלע שמול הזווית הפנימית (הצמודה לזווית אותה הוא חוצה) בחלוקה חיצונית השווה ליחס בין צלעות המשולש החוסמות את הזווית הפנימית. (השרטוט ברור יותר) | |||
לא מקוטלגים - | |||
*סכום הזוויות במצולע קמור הוא 180(n-2) כאשר n הוא מספר הצלעות. | |||
*ישרים מקבילים - | |||
**זוויות מתאימות ומתחלפות שוות וסכום זוויות חד-צדדיות שווה ל180 מעלות ''אםם'' הישרים מקבילים. | |||
*קטע מרכזים - | |||
**קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו | |||
**נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים (אם המעגלים משיקים מבחוץ) או על המשכו (אם הם משיקים מבפנים). | |||
שרטוטים - | |||