מציאת נקודות פיתול

חזרה לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - חדו"א

הגדרה

נקודה בה הפונקציה מחליפה קמירות בקעירות או להיפך, כלומר, נקודה בה הנגזרת השניה של הפונקציה מחליפה סימן.

מציאת נקודות פיתול

נקודה שבה הנגזרת השניה מחילפה סימן היא נקודה בה הנגזרת השניה מתאפסת או שאינה קיימת. הנקודות בהן הנגזרת השניה מתאפסת או לא קיימת הן נקודות שחשודות כפיתול. לאחר מציאתן יש לוודא שהן אכן נקודות פיתול, למשל ע"י בדיקת סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודה בסביבה מספיק קרובה.

הערה

בחומר הנלמד לקראת הבגרות לא דנים בנקודות פיתול בהן הנגזרת השניה אינה מוגדרת. לדוגמא הפונקציה [math]\displaystyle{ y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} }[/math]

נגזרת ראשונה: [math]\displaystyle{ y'=\frac{1}{3}x^{-2/3} }[/math]

נגזרת שניה: [math]\displaystyle{ y''=\frac{-2}{9}x^{-5/3}=\frac{-2}{9\left(\sqrt[3]{x}\right)^5} }[/math]

ניתן לראות ללא קושי ש- ''y אינה מוגדרת ב- x=0. אבל עבור x<0 מתקיים 0<''y, עבור x<0 מתקיים 0>''y.