פירוק לגורמים

ניזכר בנוסחאות הכפל המקוצר:

דו־איבר בריבוע (חיבור):

[math]\displaystyle{ (a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b) }[/math]

על פי חוק הפילוג:

[math]\displaystyle{ =(a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b }[/math]

שוב על פי חוק הפילוג:

[math]\displaystyle{ \begin{align}&=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\\&=a^2+a\cdot b+b\cdot a+b^2\end{align} }[/math]

על פי חוק החילוף בכפל:

[math]\displaystyle{ \begin{align}&=a^2+a\cdot b+a\cdot b+b^2\\&=a^2+2\cdot(a\cdot b)+b^2\end{align} }[/math]

על פי חוק הקיבוץ בכפל:

[math]\displaystyle{ =a^2+2\cdot a\cdot b+b^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ (a-b)^2 }[/math]

על פי הגדרת החיסור:

[math]\displaystyle{ =\bigl(a+(-b)\bigr)^2 }[/math]

על פי הנוסחה לכפל מקוצר דו־איבר בריבוע לחיבור

[math]\displaystyle{ \begin{align}&=a^2+2\cdot a\cdot(-b)+b^2\\&=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ (a+b)\cdot(a-b) }[/math]

על פי הגדרת החיסור:

[math]\displaystyle{ =(a+b)\cdot\bigl(a+(-b)\bigr) }[/math]

על חוק הפילוג:

[math]\displaystyle{ =a\cdot\bigl(a+(-b)\bigr)+b\cdot\bigl(a+(-b)\bigr) }[/math]

שוב על פי חוק הפילוג:

[math]\displaystyle{ \begin{align}&=a\cdot a+a\cdot(-b)+b\cdot a+b\cdot(-b)\\&=a^2-a\cdot b+b\cdot a-b^2\end{align} }[/math]

על פי חוק החילוף בכפל:

[math]\displaystyle{ =a^2-a\cdot b+a\cdot b-b^2 }[/math]

חיבור אברים נגדיים

[math]\displaystyle{ =a^2-b^2 }[/math]