משפטים בגיאומטריה

סיכום זה זקוק לתיקוני עריכה. לפרטים ראה קטגוריה: סיכומים הדורשים תיקון

נא לא להוריד הודעה זו עד שיגמרו כל תיקוני העריכה בסיכום זה.

משפטים שימושיים בגיאומטריה:

משפטי חפיפה: הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.

• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים.
• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים.
• במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
• במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.

• • משולש ישר זווית -
    • אם במשי"ז אחת הזוויות שווה ל30, הצלע שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך). משולש זה מכונה "משולש זהב".
    • התיכון ליתר במשי"ז שווה למחצית היתר (ולהפך)
    • משפט פיתגורס (והמשפט ההפוך לו)
    • הגובה ליתר במשי"ז מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי
    • הגובה ליתר במשי"ז הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. (ולהפך)
    • (משפט אוקלידס) - במשי"ז ניצב הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.

• • קטע אמצעים במשולש -
    • קטע האמצעים מקביל לבסיס ושווה לחצי ממנו.
    • קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לבסיס הינו קטע אמצעים.
    • קטע המקביל לבסיס ושווה למחציתו הינו קטע אמצעים.

• • צלעות וזוויות במשולש והיחסים ביניהן -
    • אם צלע אחת במשולש גדולה/שווה לצלע שנייה, הזווית שמול הראשונה גדולה/שווה לזווית שמול השנייה.
    • השיוויון מתקיים אםם הצלעות שוות.
    • אי-שיוויון המשולש
    • סכום הזוויות במשולש שווה ל180
    • מסקנה: הזווית החיצונית למשולש שווה לסכום הזוויות הלא צמודות לה במשולש.

• ישרים חשובים -
  • אנך אמצעי -
    • כל נקודה על אנך אמצעי לקטע נמצאת באותו המרחק משני קצוות הקטע (ולהפך - כל נקודה...)
    • שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת

• • חוצה זווית -
    • כל נקודה על חוצה זווית A נמצאת במרחק שווה משני שוקי A. (ולהפך - כל נקודה...)
    • שלושת חוצי הזווית במשולש נפגשים בנקודה אחת

• • תיכון -
    • התיכונים במשולש מחלקים זה את זה ביחס של 1:2
    • שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

• • גובה -
    • הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת

• שטחים -
  • שטח משולש - צלע*גובה לצלע/2
  • שטח מקבילית - צלע*גובה לצלע (+ציון מקרים פרטיים של מלבן, מעוין וריבוע)
  • שטח דלתון - מכפלת האלכסונים/2 (ציון מעוין כמקרה פרטי)
  • שטח טרפז - ממוצע הבסיסים*הגובה
  • שטח עיגול - R^2*pi
  • היקף עיגול - 2pi*R

• מרובעים -
  • מקבילית -
    • כל זוג זוויות נגדיות במקבילית שווה (ולהפך)
    • כל זוג זוויות סמוכות במקבילית שוות ל-180 מעלות (ולהפך)
    • כל זוג צלעות נגדיות במקבילית שווה (ולהפך)
    • האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה (ולהפך)
    • מרובע ששתיים מצלעותיו שוות ומקבילות הוא מקבילית
    • מרובע ששתי זוגות צלעות נגדיות בו מקבילות הוא מקבילית.

• • מלבן -
    • האלכסונים במלבן שווים זה לזה (ולהפך, במקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה...)

• • מעוין -
    • אלכסוני מעוין מאונכים (ולהפך, מקבילית שבה...)
    • אלכסוני מעוין חוצים את זוויותיו (ולהפך, מקבילית שבה...)

• • טרפז -
    • אם בטרפז שתי זוויות בסיס שוות, הוא שווה שוקיים.
    • אם אלכסוני הטרפז שווים זה לזה, הוא שווה שוקיים.
    • קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
    • קטע היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיס הינו קטע אמצעים.

• מעגל -
  • הגדרה ומשפטים כלליים -
    • על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות (ולהפך)
    • למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות (ולהפך)
    • על קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות (ולהפך)
    • לזווית הגדולה ביותר מתאימה הקשת הגדולה ביותר והמיתר הגדול ביותר
    • אנך למיתר היוצא ממרכז המעגל חוצה את המיתר ואת הזווית המרכזית הנשענת על המיתר (ולהפך - שתי אפשרויות)
    • מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל
    • אם מיתר א' גדול ממרחק ב', מרחקו מהבסיס גדול מזה של מיתר ב'.

• • זוויות (היקפיות ומרכזיות) במעגל -
    • זווית מרכזית גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
    • זווית היקפית ישרה נשענת על הקוטר (ולהפך) - מקרה פרטי של המשפט הקודם
    • כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות
    • למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות וזוויות היקפיות שוות
    • זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית (והמשכיהן)
    • זווית חיצונית שווה להפרש בין הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית

• • המשיק -
    • משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (ולהפך)
    • שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
    • קטע המחבר את נקודת החיתוך של שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית ביניהם, מאונך למיתר המחבר את נקודות ההשקה וחוצה אותו
    • הזווית בין משיק למיתר במעגל הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני
    • שני מיתרים במעגל נחתכים כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר
    • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
    • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק (הקטע שבין נקודת ההשקה לחיתוך המשיק והחותך)

• • מצולעים חסומים וחוסמים מעגל
    • מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעותיו.
    • מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית של המשולש
    • בכל מרובע החסום במעגל סכום הזוויות הנגדיות הוא 180 מעלות. (ולהפך, מרובע כזה ניתן לחסימה)
    • במרובע החוסם מעגל, סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. (ולהפך)
    • כל מצולע משוכלל ניתן לחסימה על ידי מעגל
    • כל מצולע משוכלל יכול לחסום מעגל

• פרופורציה ודמיון -
  • משפט תלס, הרחבותיו והמשפטים ההפוכים להם. (קל יותר להסביר באמצעות שרטוט)

• • דמיון משולשים -
    • משפט דמיון ראשון (צ.ז.צ)
    • משפט דמיון שני (ז.ז)
    • משפט דמיון שלישי (צ.צ.צ)
    • משפט דמיון רביעי (צ.צ.ז)
    • במשולשים דומים היחס בין הגבהים, חוצי הזווית והתיכונים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים.
    • היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון בין המשולשים.
    • היחס בין רדיוסי מעגלים החוסמים משולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים.
    • ביחס בין רדיוסי מעגלים החסומים במשולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים.

• • חוצה הזווית -
    • חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית שהוא חוצה ביחס השווה ליחס בין שתי הצלעות האחרות. (ולהפך)
    • חוצה זווית חיצונית למשולש מחלק את הצלע שמול הזווית הפנימית (הצמודה לזווית אותה הוא חוצה) בחלוקה חיצונית השווה ליחס בין צלעות המשולש החוסמות את הזווית הפנימית. (השרטוט ברור יותר)

לא מקוטלגים -

• סכום הזוויות במצולע קמור הוא 180(n-2) כאשר n הוא מספר הצלעות.
• ישרים מקבילים -
  • זוויות מתאימות ומתחלפות שוות וסכום זוויות חד-צדדיות שווה ל180 מעלות אםם הישרים מקבילים.
• קטע מרכזים -
  • קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו
  • נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים (אם המעגלים משיקים מבחוץ) או על המשכו (אם הם משיקים מבפנים).