מציאת נקודות קיצון

סיכום זה דורש הרחבה! אנו מבקשים מהמשתמשים המבינים בתחום לעזור להרחיב את הסיכום.

לפרטים נוספים ראה סיכומונה:סיכומים הדורשים הרחבה. אין להוריד הודעה זו בלי אישור.

האופן הטכני למציאת נקודות קיצון (נקודות מינימום ומקסימום)

1) גוזרים את הפונקציה.

2) משווים את הנגזרת ל-0.

3) פותרים את המשוואה המתקבלת ומקבלים את הערכים של x.

4) את ערכי ה-x שקיבלתם בסעיף 3 מציבים בפונקציה עצמה כדי לקבל את ערכי y.

5) אפיון הנקודה: בונים טבלה, בטבלה שלוש שורות: X, f(x), f'(x)l. בטבלה מציבים את הנקודות הקיצוניות שמצאנו בסעיפים 3 ו-4. ואז, בודקים מה קורה לנגזרת כאשר היא עוברת דרך הנקודות הקיצוניות, אם סימן הנגזרת משתנה ממינוס לפלוס, כולמר, הפונקציה עוברת מירידה לעליה, תהיה זו נקודת מינימום מקומית. ואילו, אם סימן הנגזרת משתנה מפלוס למינוס במעבר דרך הנקודה הקיצונית, כלומר, הפונקציה משנה מגמה מעלייה לירידה, תהיה זו נקודת מקסימום מקומית.

הערות:

1. יתכן מצב שבו במעבר דרך נקודה המאפסת את הנגזרת, הנגזרת לא משנה סימנה. במצב זה, הנקודה תקרא נקודת פיתול, והיא אינה נקודת קיצון. בנקודת פיתול הפונקציה משנה את כיוון הקמירות שלה. לדוגמא f(x) = x³ ב x=0.
2. בשיטה זאת לא תמיד מוצאים את כל נקודות הקיצון. כאשר הפונקציה מוגדרת רק בתחום מסויים יש לבדוק את הערך שלה בקצה התחום. יכולות להתקבל שם נקודות קיצון שלא מאפסות את הנגזרת. בנוסף, ייתכנו נקודות קיצון במקום שהפונקציה אינה גזירה אך היא מוגדרת. יש לבדוק במקרים כאלה האם הנגזרת משנה את סימנה במעברה בנקודה