סיכומונה נפתח מחדש לעריכה! על מנת לערוך סיכומים נדרש לפתוח חשבון.

הבדלים בין גרסאות בדף "מציאת נקודות פיתול"

מתוך סיכומונה, אתר הסיכומים החופשי.
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
(הערה)
 
(15 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
חזרה ל[[מתמטיקה]]
 +
 +
חזרה ל[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - חדו"א]]
 +
----
 +
 
===הגדרה===
 
===הגדרה===
'''נקודת פיתול''' - נקודה בה עוברת הפונקציה מקעירות לקמירות או להיפך (ניתן לומר גם מעבר מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה או הפוך).
+
נקודה בה הפונקציה מחליפה קמירות בקעירות או להיפך, כלומר, נקודה בה הנגזרת השניה של הפונקציה מחליפה סימן.
 +
 
 +
==מציאת נקודות פיתול==
 +
נקודה שבה הנגזרת השניה מחילפה סימן היא נקודה בה הנגזרת השניה מתאפסת או שאינה קיימת. הנקודות בהן הנגזרת השניה מתאפסת או לא קיימת הן נקודות שחשודות כפיתול. לאחר מציאתן יש לוודא שהן אכן נקודות פיתול, למשל ע"י בדיקת סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודה בסביבה מספיק קרובה.
  
==מציאת נקודת הפיתול==
+
====הערה====
ניתן לחלק את נקודות הפיתול ל-2: פיתול מדרגה ופיתול רגיל.
+
בחומר הנלמד לקראת הבגרות לא דנים בנקודות פיתול בהן הנגזרת השניה אינה מוגדרת. לדוגמא הפונקציה <math>y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}</math>
  
===פיתול מדרגה===
+
נגזרת ראשונה: <math>y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}</math>
פיתול מדרגה הוא פיתול בו במעבר מקמירות לקעירות (או להיפך( יש נקודה אשר המשיק לה מקביל לציר X כלומר השיפוע הוא 0. לפיכך כדי למצוא פיתול מדרגה יש לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל- 0. מחשבים לכל נקודה את ערך הפונקציה ומאפיינים את הנקודה בטבלה בה העמודות הן:<BR>
 
X, f(x) ו- f'(x) (בדומה לאיפיון נקודת קיצון.
 
  
נקודת פיתול מדרגה תהיה נקודה לפניה אין שינוי מגמה של הפונקציה והפונקציה הולכת באותו כיוון לפני ואחרי הנקודה.
+
נגזרת שניה: <math>y''=\frac{-2}{9}x^{-5/3}=\frac{-2}{9\left(\sqrt[3]{x}\right)^5}</math>
  
===פיתול רגיל===
+
ניתן לראות ללא קושי ש- <nowiki>''y אינה מוגדרת ב- x=0. אבל עבור x<0 מתקיים 0<''y, עבור x<0 מתקיים 0>''y.
כדי למצוא נקודת פיתול רגילה יש לגזור נגזרת שנייה של הפונקציה (נגזרת של הנגזרת), ולהשוות את הנגזרת השנייה ל- 0. לאחר מציאת הנקודות בהן הנגזרת שווה לאפס מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות אלו ומאפייניםפ את הנקודות בטבלה בה העמודות הן: ערך ה- X, ערך הפונקציה וערך הנגזרת השנייה f''(x). ערך נגזרת שנייה שלילי פירושו קעור כלפי מטה (קעור), ערך נגזרת שנייה חיובי פירושו קעור כלפי מעלה (קמור). נקודות בהן יש מעבר בין קמירות לקעירות או להיפך הן נקודות פיתול.
+
</nowiki>
*יש לציין שגם נקודות פיתול מדרגה יופיעו כאשר נשתמש בנגזרת השנייה.
+
[[קטגוריה:מתמטיקה]]

גרסה אחרונה מ־06:43, 26 בספטמבר 2006

חזרה למתמטיקה

חזרה לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - חדו"א


הגדרה

נקודה בה הפונקציה מחליפה קמירות בקעירות או להיפך, כלומר, נקודה בה הנגזרת השניה של הפונקציה מחליפה סימן.

מציאת נקודות פיתול

נקודה שבה הנגזרת השניה מחילפה סימן היא נקודה בה הנגזרת השניה מתאפסת או שאינה קיימת. הנקודות בהן הנגזרת השניה מתאפסת או לא קיימת הן נקודות שחשודות כפיתול. לאחר מציאתן יש לוודא שהן אכן נקודות פיתול, למשל ע"י בדיקת סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודה בסביבה מספיק קרובה.

הערה

בחומר הנלמד לקראת הבגרות לא דנים בנקודות פיתול בהן הנגזרת השניה אינה מוגדרת. לדוגמא הפונקציה [math]y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}[/math]

נגזרת ראשונה: [math]y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}[/math]

נגזרת שניה: [math]y''=\frac{-2}{9}x^{-5/3}=\frac{-2}{9\left(\sqrt[3]{x}\right)^5}[/math]

ניתן לראות ללא קושי ש- ''y אינה מוגדרת ב- x=0. אבל עבור x<0 מתקיים 0<''y, עבור x<0 מתקיים 0>''y.